การเมืองกับคณิตศาสตร์: ทฤษฎีแห่งความเป็นไปไม่ได้

 

อะไรคือ “ระบบประชามติ”?

มนุษย์เป็นสัตว์สังคม แต่ในขณะเดียวกันมนุษย์ก็มีความต้องการเป็นของตัวเอง ปัญหาอย่างหนึ่งในการอยู่ร่วมกันของมนุษย์ก็คือ หากความต้องการของแต่ละคนไม่ลงรอยกัน จะมีวิธีใดที่จะ “หลอมรวม” อันดับความต้องการของคนแต่ละคนเข้าด้วยกันอย่างสมเหตุสมผลหรือไม่ คำตอบสั้นๆง่ายๆของ Kenneth Arrow ก็คือ วิธีดังกล่าวนั้นไม่มี และนี่ก็เป็นที่มาของ ทฤษฎีแห่งความเป็นไปไม่ได้ของ Arrow หรือ Arrow’s impossibility theorem

“ระบบประชามติ” (นิยามดั้งเดิมของ Arrow ใช้คำว่า social welfare function) ในที่นี้จึงหมายถึงกระบวนการใดๆก็ตาม ที่จะหลอมรวมความต้องการส่วนบุคคลให้เป็นความต้องการของสังคม นิยามของคำว่า “ระบบประชามติ” ในที่นี้ จึงมีความหมายกว้างขวางครอบคลุมมากกว่าระบบการโหวตด้วยเสียงส่วนมากธรรมดาๆ ผมขอผัดผ่อนตัวอย่างไปนำเสนอในส่วนถัดไปครับ

001“ประชามติ” คือระบบในการจัดอันดับความต้องการของสังคม

นิยามของความเป็นธรรม

การพิสูจน์ด้วยคณิตศาสตร์ต้องใช้นิยามที่แน่นอน ถ้าเราเรียกร้องความเป็นธรรมแต่ไม่รู้ว่าความเป็นธรรมคืออะไร หาเท่าไหร่ก็ย่อมหาไม่พบ Arrow จึงให้คำจำกัดความของ “ความเป็นธรรม” ที่ระบบประชามติพึงมีเอาไว้ห้าประการ ได้แก่

  1. Universal domain (ความ ครอบคลุม) บุคคลมีสิทธิ์ที่จะเลือก และระบบไม่ควรกีดกันทางเลือกของประชาชน ระบบประชามติต้องให้ผลชัดเจนเด็ดขาด ไม่ลังเลซัดส่ายว่าทำดีไม่ทำดี หรือวันนี้ทำอย่าง พรุ่งนี้ทำอย่าง
  2. Non-dictatorship (ไม่มีเผด็จการ) ระบบประชามติไม่ควรมีบุคคลใดบุคคลหนึ่งที่มีสิทธิ์ชี้ขาดตัดสินได้ดังใจ
  3. Unanimity (ความเป็นเอกฉันท์) มติที่เป็นเอกฉันท์ควรมีผลออกมาเป็นเช่นนั้น ถ้าคนทุกคนชอบ X มากกว่า Y ในภาพรวมของระบบก็ควรเห็นว่า X ดีกว่า Y
  4. Monotonicity (ความ สอดคล้องกัน) ระบบประชามติควรตอบรับการเปลี่ยนแปลงในทิศทางเดียวกัน อย่าง เช่น สมมุติว่าแต่ก่อนเราไม่ชอบ X เลย แต่วันนี้เปลี่ยนใจลงคะแนนให้ X อันดับของ X ในภาพรวมก็ควรจะดีขึ้นหรือเท่าเดิม ไม่ใช่แย่ลง
  5. Independence of irrelevant alternative (การ ตัดชอยส์) ถ้าเอา Z ออกไป อันดับของ X กับ Y ก็ไม่ควรเปลี่ยนแปลง อย่างเช่น ในงานแข่งวิ่งกรีฑา คนที่ได้ที่โหล่จะอยู่ตรงนั้นหรือไม่ก็ตามแต่ แต่อันดับอื่นๆก็ควรจะคงเดิม

เป็นที่ยอมรับกันว่านิยามทั้งห้าเป็นนิยามที่สมเหตุสมผล คือระบบที่เป็นธรรมก็สมควรจะเป็นเช่นนี้จริงๆไม่ได้เรียกร้องมากจนเกินไป แต่ทฤษฎีอันน่าทึ่งของ Arrow นั้นว่ากันสั้นๆง่ายๆ ว่า

ถ้ามีคนอย่างน้อยสองคน มีตัวเลือกอย่างน้อยสามอย่างแล้วละก็ ไม่มีระบบประชามติใดที่จะมีคุณสมบัติได้ครบทั้งห้าข้อ

002หนังสือ social choice & individual values ของ Kenneth Arrow
อ่านบางส่วนได้ฟรีบน Google books

ตัวอย่าง

ทฤษฎีของ Arrow ไม่ได้จำกัดอยู่แค่เพียงการลงคะแนนเพื่อหาเสียงข้างมาก แทบทุกกระบวนการตัดสินใจชี้เส้นทางของสังคมล้วนตกอยู่ภายใต้กฏของทฤษฎีนี้ ยกตัวอย่างเช่น

  1. เกมเศรษฐี ก่อนจะโยนลูกเต๋า เราจะรู้ดีว่าเราอยากได้เลขอะไร เพราะเราอยากไปลงในที่ของตัวเอง แต่ในขณะเดียวกันคนอื่นก็อยากให้เราไปตกในที่ของเขา “ระบบประชามติ” ในที่นี้คือการสุ่มด้วยลูกเต๋า จึงขาดความครอบคลุม (ข้อ 1) คือเอาแน่เอานอนไม่ได้ โยนอีกทีก็อาจจะได้เลขอื่นไป
  2. อาจารย์ศิลปะให้คะแนนนักเรียน เด็กอยากได้คะแนนดีๆ แต่สิทธิ์ชี้เป็นชี้ตายอยู่ในกำมือของอาจารย์ จึงได้ชื่อว่ามีเผด็จการและขาดคุณสมบัติข้อ 2
  3. คนรอรถเมล์ ต่อให้ทุกคนที่ป้ายรถเมล์รอรถเมล์เบอร์ 25 ก็ไม่ได้ทำให้รถเมล์คันต่อไปที่จะเข้าป้ายเป็นเบอร์ 25 ในขณะเดียวกัน ถ้ารถเมล์เบอร์ 9 โล่งๆ วิ่งมาก็ไม่อาจเปลี่ยนตัวเองเป็นเบอร์ 25 เพื่อรับผู้โดยสาร สถานการณ์นี้จึงขาดความเป็นเอกฉันท์ (ข้อ 3)
  4. ประกวดร้องเพลงเรียลลิตี้ ใน การประกวดที่ต้องใช้เสียงโหวตจากท่านผู้ชมทางบ้าน หลังอาทิตย์ที่มีคนตกรอบ ก็มีอยู่บ่อยครั้งที่อันดับความนิยมของคนที่เหลืออยู่จะเปลี่ยน ซึ่งส่วนหนึ่งก็มากจากคะแนนเสียงของคนที่เคยเชียร์คนที่ตกรอบ ในเมื่อตัวเลือกถูกคัดออกแล้วความนิยมของสังคมเปลี่ยน ระบบนี้จึงขาดคุณสมบัติข้อ 5 คือการตัดชอยส์

ในการทำข้อสอบ ชอยส์ที่ถูกตัดไปแล้วก็ไม่ต้องเอามาคิดต่ออีก เพราะคำตอบที่ถูกที่อยู่ในบรรดาชอยส์ที่เหลือก็จะยังคงเป็นคำตอบเดิม ในการแข่งกีฬา ทีมที่ตกรอบไปแล้วก็ไม่ต้องมาแข่งต่ออีก เพราะถ้าแพ้เกมในระดับภูมิภาค แข่งระดับประเทศก็ไม่น่าจะชนะ ความเป็นธรรมที่ว่าด้วยการตัดชอยส์จึงดูน่าจะเป็นเรื่องธรรมดา แต่อันที่จริงระบบโหวตและระบบเลือกตั้งเกือบทั้งหมดขาดคุณสมบัติข้อนี้

ในความเป็นจริง “สิ่งที่มีให้เลือก” จะส่งผลต่อ “ผลการเลือก” มีความจริงในหน้าประวัติศาสตร์บ่อยครั้งที่ว่า เมื่อเบอร์ 3 ถอนตัว คนที่เคยเชียร์เบอร์ 3 ก็ไปเทคะแนนให้เบอร์ 2 แล้วกลายเป็นว่าคะแนนนำชนะเบอร์ 1 ไป หรือ เมื่อเบอร์ 3 เข้ามาก็ไปแย่งฐานเสียงจากเบอร์ 1 แล้วกลายเป็นว่าเบอร์ 2 ชนะลอยลำไป

กฏการตัดชอยส์จึงเป็นเรื่องที่ได้รับการถกเถียงกันมากที่สุดในหมู่นักวิชาการ เพราะภายใต้กฏการตัดชอยส์จะเกิดสถานการณ์กลืนไม่เข้าคายไม่ออก ไม่รู้ว่าควรตัดสินให้ใครชนะดีดังเช่นในตัวอย่างที่พึ่งกล่าวถึง แต่ในขณะเดียวกันถ้าไม่มีกฎการตัดชอยส์การเลือกตั้งจะโกลาหล คนทุกคนต้องลงสมัตรเลือกตั้งเป็น ส.ส. เพราะทุกคนคือตัวเลือกที่เป็นไปได้ และเป็นชอยส์ที่ไม่ควรตัดออก

นักวิชาการส่วนใหญ่จึงมองว่ากฏการตัดตัวเลือกเป็นปัญหามากที่สุด เพราะเป็นที่มาของความไม่ลงรอยกัน และเป็นกฏข้อเดียวที่ระบบเสียงข้างมากส่วนใหญ่ยังขาด

ผลกระทบจากทฤษฎี

003ผลงานตีพิมพ์ของ Arrow ในวารสารเศรษฐศาสตร์การเมือง

ทฤษฎีอันน่าพรั่งพรึงของ Kenneth Arrow เป็นใบแจ้งเกิดให้กับเขาในวงการเศรษฐศาสตร์อย่างรวดเร็ว เพราะบทสรุปของทฤษฎีเป็นสิ่งที่ไม่มีใครเคยคิดถึง และตัวทฤษฎีเองก็กว้างขวางครอบคลุม ตั้งแต่เศรษฐศาสตร์ในครัวเรือนไปจนถึงวิชาการปกครองและกระบวนการยุติธรรม ทฤษฎีแห่งความเป็นไปไม่ได้ เป็นแรงจุดประกายให้คนหันมาสนใจความสัมพันธ์ระหว่างกระบวนการทางรัฐศาสตร์ และความต้องการที่แท้จริงของประชาชน และในที่สุด ในปี 1972 Kenneth Arrow ก็ได้เป็นหนึ่งในผู้เข้ารับรางวัลโนเบลในสาขาวิชาเศรษฐศาสตร์

หนึ่งในบรรดาผู้ที่สนใจสานต่อผลงานของ Arrow ก็คือ Gibbard และ Satterthwaite ซึ่งได้ประยุกต์ทฤษฎีของ Arrow ให้เฉพาะเจาะจงลงมาถึงแค่ระบบการโหวตเพื่อเลือกผู้ชนะหนึ่งคนจากอย่างน้อยสามคน Gibbard-Satterthwaite theorem กล่าวว่า ทุกระบบการเลือกตั้งจะต้องมีหนึ่งในสามสิ่งต่อไปนี้

  1.  ระบบมีเผด็จการ
  2. ระบบลำเอียง มีผู้เข้าแข่งขันที่ไม่ทางชนะ
  3. ผู้โหวตเล่นตุกติกได้ (นิยามของการ “เล่นตุกติก” ในที่นี้คือการจงใจโหวตสิ่งที่เราไม่ชอบเพื่อผลลัพท์สุดท้ายที่ดีกว่า ดูตัวอย่างได้ที่ http://en.wikipedia.org/wiki/Tactical_voting)

อย่างไรก็ดี ถึงทฤษฎีของ Arrow และทฤษฎีของ Gibbard และ Satterthwaite จะออกมาค่อนข้างอยู่ในเชิงลบ แต่ก็อย่าลืมว่าทฤษฎีทั้งหลายเหล่านี้ แต่โดยเดิมนั้นตั้งอยู่บนพื้นฐานระบบของคณิตศาสตร์ ยังมีนิยาม เงื่อนไข และข้อบ่งใช้อยู่อีก ตัวทฤษฎีเองไม่ได้สรุปว่า “โลกนี้ไม่มีความเป็นธรรม” หรือ “การเลือกตั้งไม่ยุติธรรม” เพียงแต่บอกว่า การเลือกตั้งที่สอดคล้องกับเงื่อนไขและนิยามของตัวทฤษฎีนั้นไม่มี หากดัดแปลงนิยามเสียใหม่ ระบบที่มีคุณสมบัติครบห้าข้อก็ยังมีอยู่

พิสูจน์ Arrow’s Impossibility Theorem

ผู้เขียนไม่นิยมพูดถึงงานที่ใช้ศัพท์แสงวิชาการหรืองานที่เข้าใจยากจนเกิน ไป เพราะเห็นว่าคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มักถูกมองว่ายากวุ่นวายอยู่แล้ว หากอธิบายไม่ดีก็จะเหมือนตอกย้ำภาพลักษณ์เดิมๆ เข้าไปใหญ่ แต่เห็นว่า บทพิสูจน์ของทฤษฎีนี้มีส่วนที่น่าสนใจ เพราะไม่มีการคำนวนอยู่เลยมีเพียงตรรกล้วนๆ เท่านั้น แม้จะนับเลขไม่เป็นแต่ก็ยังสามารถใช้เหตุใช้ผลคิดตามได้จนจบ เป็นอุทาหรณ์ชวดคิดว่า ทฤษฎีที่ยิ่งใหญ่และสำคัญจนเป็นที่มาของรางวัลโนเบลได้นั้น ไม่ได้แปลว่าต้องยากเย็นแสนเข็ญ ความรู้จักคิด มีใจรักที่จะสร้างสรรค์ และกล้าพอที่จะจินตนาการก็เพียงพอแล้ว

ผูัเขียนจึงขอจบบทความส่วนที่เป็นเนื้อหาไว้แต่เพียงเท่านี้ บทพิสูจน์ในส่วนต่อไป หากใครอ่านแล้วปวดหัวก็สามารถข้ามไปได้ แต่หากจะเป็นแรงบันดาลใจให้ใครได้สานต่อผลงานของ Kenneth Arrow เข้าชิงรางวัลโนเบลเป็นคนต่อไป ผมก็ขอเป็นกำลังใจให้เต็มที่ครับ

บทพิสูจน์ต่อไปนี้ ดัดแปลงมาจากบทพิสูจน์ของ John Geanakoplos (http://ideas.repec.org/p/cwl/cwldpp/1123r3.html) ซึ่งเป็นวิธีเดียวกับที่ wikipedia นำเสนอ (http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow’s_impossibility_theorem#Informal_proof) มีรูปประกอบสำหรับบางข้อครับ

004005

  1. ด้วยการตัดชอยส์ (เงื่อนไข 5) เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีเฉพาะในกรณีทีมีสามตัวเลือก
  2. ด้วยความเป็นเอกฉันท์ (เงื่อนไข 3) ในกรณีที่ทุกคนเกลียดแตงโม แตงโมจะต้องเป็นตัวเลือกสุดท้ายของสังคม
  3. เช่นกัน ในกรณีที่ทุกคนชอบแตงโม แตงโมจะต้องเป็นตัวเลือกแรกของสังคม
  4. หากเราค่อยๆเลื่อนจาก ๓) ไป ๒) คือให้คนแต่ละคนค่อยๆเปลื่ยนตัวเลือกจากชอบแตงโม เป็นเกลียดแตงโม แตงโมจะต้องตกจากแชมป์ในที่สุด สมมุติว่า แตงโมตกอันดับเมื่อน้องมือเบสหัวชมพูเปลี่ยนใจ
  5. เมื่อน้องมือเบสหัวชมพูเปลื่ยนใจมาเกลียดแตงโม ถามว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่แตงโมจะอยู่อันดับสองในภาพรวม? คำตอบคือเป็นไปไม่ได้ เพราะแต่ละคน ชอบทั้งกล้วยและส้มมากกว่าแตงโม (เช่นสามคนแรก) หรือ ชอบแตงโมมากกว่าทั้งกล้วยและส้ม (เช่นสองคนหลัง) อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น โดยภาพรวมแล้ว ทั้งกล้วยและส้มจึงต้องมีสถานะเดียวกันเมื่อเทียบกับแตงโม แตงโมจะอยู่ตรงกลางระหว่างกล้วยกับส้มไม่ได้ จึงต้องตกเป็นที่สาม (ในอีก นัยหนึ่ง ถ้าใช้เงื่อนไข 5 ตัดชอยส์กล้วยออก และใช้เงื่อนไข 5 ตัดชอยส์ส้มออก ซ้ายมือของรูปที่ ๕) จะออกมาคล้ายคลึงกันในทั้งสองกรณี ดังนั้นแตงโมจะแพ้อย่างหนึ่ง ชนะอย่างหนึ่งไม่ได้)
  6. ในอันดับต่อไปคือการพิสูจน์ว่า น้องมือเบสหัวชมพูเป็นเผด็จการ มีสิทธ์ชี้ขาดอันดับของส้มกับกล้วย
  7. สมมุติว่าน้องมือเบสหัวชมพูโหวตกล้วยดีกว่าแตงโมดีกว่าส้ม ถ้าตัดชอยส์ส้มออก รูป ๗) กับรูป ๕) จะเหมือนกัน ดังนั้นแตงโมต้องแพ้กล้วย ถ้าตัดชอยส์กล้วยออก รูป ๗) กับรูป ๔) จะเหมือนกัน จึงได้ว่าแตงโมต้องชนะส้ม ดังนั้นผลสรุปของสังคมคือ กล้วยชนะแตงโมชนะส้ม
  8. ในทำนองเดียวกัน ถ้าน้องมือเบสหัวชมพูโหวตส้มดีกว่าแตงโมดีกว่ากล้วย ผลสรุปของสังคมก็จะเป็น ส้มชนะแตงโมชนะกล้วย
  9. พิจารณารูป ๗) และ ๘) ด้วยการตัดชอยส์แตงโมออก จะได้ว่าน้องมือเบสหัวชมพูมีสิทธ์ชี้ขาดอันดับของส้มกับกล้วย ความเห็นของคนอื่น (ส่วนที่เป็น ? ) ไม่มีผลต่อประชามติเลย
  10. ในทำนองเดียวกัน จะต้องมีเผด็จการที่มีอำนาจชี้ขาดผลของตัวเลือกทุกๆคู่ และเผด็จการนั้นต้องเป็นคนๆเดียวกัน จึงสรุปได้ว่า ไม่มีระบบใดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งห้า

———————————————————————————————————————————————————————

Wittawat_K
โดย

ดร. วิทวัชร์ โฆษิตวัฒนฤกษ์
ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยมหิดล